domingo, 3 de julio de 2011
domingo, 18 de julio de 2010
miércoles, 14 de julio de 2010
Malentendidos de la mecánica cuántica
Estos malentendidos están fomentados, en parte, por cierta literatura New Age (principalmente, el libro El Tao de la física, de Fritjof Capra, y la película ¿Y tú qué sabes?). Pero también se deben a una inadecuada elección de metáforas por parte de científicos, docentes y divulgadores. Toda metáfora guarda cierta distancia con el fenómeno que quiere ilustrar. En el caso de la mecánica cuántica, esa distancia es especialmente grande.
¿QUE ES LA MECANICA CUANTICA?
La mecánica cuántica es la física de lo muy chiquito, la rama de la física que explica lo que sucede en el mundo microscópico. Por ejemplo, lo que sucede en el interior del átomo o lo que sucede con las partículas que hay en el interior del átomo cuando salen e interactúan entre sí.
¿Por qué hay una mecánica cuántica? ¿Por qué las leyes del mundo microscópico son diferentes de las del mundo de todos los días?
Porque el comportamiento de la naturaleza no es el mismo cuando cambian las escalas, cuando cambia el tamaño de los objetos involucrados. Por ejemplo, si dejamos caer una tabla de madera lo hace con cierto estrépito. Si le acercamos un fósforo, arde con relativa dificultad. Si esa misma madera la reducimos a aserrín y lo dejamos caer, lo hace lentamente y queda suspendido en el aire durante varios segundos. Si le acercamos un fósforo, arde rápidamente. Es decir que las propiedades de la madera dependen de su tamaño. De la misma forma, las propiedades y el comportamiento de un pedazo de hierro son diferentes de las de un átomo de este metal.
LOS MODELOS ATOMICOS
La existencia de los átomos fue supuesta por Demócrito en el siglo IV a.c. Pero no se tuvieron indicios ciertos de su existencia y sus propiedades hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del inglés John Dalton. Los físicos comenzaron a sospechar que los átomos realmente existían y que eran los ladrillos que formaban la materia: todo estaba hecho de átomos.
Lo que no se sabía era cómo eran los átomos, cómo era su estructura interna. A fines del siglo XIX J. J. Thomson (otro inglés) descubrió que dentro de los átomos había unas partículas cargadas con electricidad negativa, que hoy llamamos electrones. Como, hasta donde se sabía, los átomos eran eléctricamente neutros, esas cargas negativas tenían que ser compensadas por igual cantidad de carga eléctrica positiva. Thomson imaginó a los átomos como una gran masa cargada positivamente, con los electrones (negativos) incrustados en ella como pasas en un budín. Era, justamente, el modelo del budín.
Más tarde el neocelandés Rutherford descubrió que las cargas positivas (que hoy llamamos protones) estaban concentradas en una región muy pequeña dentro del átomo, el núcleo, y que los electrones los rodeaban como planetas girando alrededor del sol. Se lo llamó el modelo planetario.
Este modelo planetario resultaba muy cómodo. Tenía el atractivo de la metáfora eficaz: poner algo desconocido (el átomo) en relación con algo conocido (el Sistema Solar). Sin embargo el modelo estaba condenado desde su nacimiento. Los físicos sabían que no podía ser completamente cierto porque la teoría electromagnética predecía (y la experiencia lo había confirmado) que las cargas eléctricas emiten energía cuando giran. Por lo tanto los átomos, con electrones girando a su alrededor, también debían emitir energía continuamente. Y eso no sólo no se había observado (salvo en el caso de las sustancias radiactivas) sino que, si así fuera, en algún momento esa energía se agotaría y el electrón caería dentro del núcleo. Lo que tampoco sucedía.
Sin embargo el modelo planetario era tan cómodo y elegante que persistió. Aún hoy la imagen que todos tenemos del átomo es la del modelo planetario. Los institutos de investigación atómica y empresas de tecnología nuclear usan el modelo planetario como emblema. Y cuando, en 1967, Grecia emitió un nuevo billete de 100 dracmas con el retrato de Demócrito, incluyó también la imagen de un átomo de litio, en su versión planetaria.
Para salvar al modelo planetario, los físicos intentaron demostrar que “de alguna manera”, “bajo ciertas condiciones”, los electrones podían girar en órbitas estables sin emitir energía, contra lo que indicaban la experiencia y la teoría electromagnética, aunque nadie sabía cómo esto podía ser posible.
EL EXPERIMENTO DE LA DOBLE RENDIJA
Lo que sabemos hoy es que los electrones no son “partículas que giran” sino “ondas que vibran”. No se sabe bien qué es lo que vibra. Pero este modelo ondulatorio evita las contradicciones del modelo planetario porque una vibración se puede mantener en el tiempo sin perder energía, como un péndulo que oscila en el vacío, sin rozamientos internos.
El problema con el modelo ondulatorio es que es contrario a la experiencia. Pero a una experiencia que no surge de la observación de la naturaleza (nadie vio directamente un electrón) sino de la observación de los libros: estamos tan acostumbrados a ver los electrones representados como partículas que nos resulta muy difícil considerarlos ondas.
Para convencerse de que los electrones son ondas y no partículas se los puede someter a un experimento hoy clásico: el experimento de la doble rendija o de los dos agujeros.
Se tiene una placa con dos agujeros. Si sobre esta placa se dispara un chorro de arena, algunos granitos pasarán por el agujero de la izquierda, otros pasarán por el agujero de la derecha y si más allá de la placa hay una pantalla para recoger los granitos, se formarán dos montones de arena, uno frente a cada agujero. Y si los agujeros están muy próximos entre sí es posible que los dos montones se superpongan, que haya una zona en común donde caigan granitos de ambos agujeros. Eso es lo que uno espera que suceda con partículas, y eso es lo que efectivamente sucede.
Si en vez de un chorro de arena lo que se dispara sobre los agujeros es un haz de ondas (como el sonido, ondas de radio u olas en el agua), el resultado es bastante diferente. Como antes, el haz se divide al pasar por los agujeros. Una parte pasa por el agujero de la izquierda y la otra por el agujero de la derecha. Una pantalla adecuada que registre la llegada de los dos haces mostrará la acumulación de las ondas en dos zonas, una frente a cada agujero. Pero en la zona central donde ambos haces se superponen ocurrirá algo especial: puede ser que en algún punto donde el haz de la derecha llegue vibrando “para allá” se encuentre con el haz de la izquierda vibrando “para acá”. Como resultado las dos vibraciones se anularán y la pantalla no registrará ninguna vibración en ese punto. Es que las ondas hacen algo que las partículas no pueden hacer: interfieren. En el punto de la pantalla donde se encuentren un granito de arena proveniente de cada agujero necesariamente aparecerán dos granitos. Pero del encuentro de dos haces, el resultado puede ser ningún haz.
Si se hace la experiencia con un haz de electrones, el resultado es el mismo que con las ondas: hay zonas donde los dos haces interfieren. Esto no es una especulación teórica: el experimento se hizo y el comportamiento del haz de electrones fue el mismo que el de una onda.
Alguien podría preguntar si el electrón realmente “es una onda” o si solamente “se comporta como una onda”. Pero la física no dice “qué” son las cosas sino “cómo” son. Es un hecho que el electrón (y las partículas subatómicas en general) se comportan como ondas. Y eso explica por lo menos una de las paradojas de la mecánica cuántica: que una partícula pueda estar en dos lugares al mismo tiempo. Uno se imagina a la partícula duplicada, cada una en una posición diferente, como dos mellizos, uno en la sala y el otro en el comedor. Si aceptamos que el electrón es una onda podemos imaginarla extendida a lo largo de todas sus posiciones. Es como una persona (sólo una) parada en la puerta que separa las dos habitaciones: está al mismo tiempo en la sala y en el comedor. Lo que no tiene nada de paradójico.
ONDAS DE PROBABILIDAD
Cuando los físicos comenzaron a aceptar que los electrones eran ondas surgió el problema de investigar la naturaleza de esas ondas. Lo que resultaba más o menos evidente era que la intensidad de esas ondas podía relacionarse con la probabilidad de ubicar el electrón en un determinado lugar del espacio. En el experimento de la doble rendija, en el punto de la pantalla donde se acumulaban más electrones, la intensidad de la onda era alta y, por lo tanto, era alta también la probabilidad de encontrar un electrón. Ahí donde no llegaban electrones, las ondas interferían, su intensidad se hacía nula o casi nula y también era nula o casi nula la probabilidad de encontrar un electrón.
Según este criterio, la onda no era algo “real” (como el sonido o las ondas de radio) sino una especie de ente matemático asociado a la partícula: estaba la partícula por un lado y, asociada a ella, la “onda de probabilidad”. De alguna manera, se trataba de mantener al electrón como partícula. Pero ¿cómo una partícula podría interferir con otra?
Una respuesta sería que la onda no iba asociada a las partículas individuales, sino a un haz de muchas de ellas. Después de todo, la probabilidad es un concepto que se aplica a conjuntos de elementos y no a elementos individuales: si queremos comprobar que la probabilidad de sacar cara al tirar una moneda es del 50% tenemos que tirar la moneda muchas veces. En el caso del experimento de la doble rendija los electrones que pasaban por un agujero podían chocar con los que pasaban por el otro y distribuirse sobre la pantalla “como si” interfirieran.
Pero el experimento de la doble rendija se puede realizar disparando los electrones uno por uno con los mismos resultados. ¿Cómo puede un electrón interferir con el anterior, que ya pasó? O, mucho peor, con el siguiente, que todavía no pasó. La respuesta es, por supuesto, que cada electrón es una onda en sí mismo y, al atravesar la placa, pasa por los dos agujeros al mismo tiempo. Una partícula no puede. Una onda, sí.
Para entender mejor este comportamiento se han planteado variantes al experimento de la doble rendija. Se pueden instalar detectores en la placa para “ver” cómo el electrón se divide en dos al pasar por cada agujero. Pero aquí surge otro problema: al electrón no lo podemos ver directamente, hay que hacerlo interactuar con otra cosa (un campo magnético, por ejemplo). Y esa interacción cambia el experimento y su resultado no es el mismo que sin detector. También se puede probar abriendo y cerrando alternativamente los agujeros para obligar al electrón a pasar por solo uno de los dos. En este caso el resultado vuelve a cambiar porque ya no sería el experimento de la “doble” rendija.
Los resultados de estos experimentos no pueden entenderse si consideramos al electrón como partícula. Richard Feynman (Premio Nobel de Física en 1965) dijo en relación con esto que “nadie entiende la mecánica cuántica”. En realidad, lo que no se entiende es cómo una partícula pueda interferir con otra. Es que no es una partícula, es una onda.
Que el electrón cambie su comportamiento según el experimento ha llevado a otro malentendido: creer que el electrón se adapta a nuestras intenciones o que “sabe” si lo están mirando. Todo se aclara cuando entendemos que cada experimento implica una interacción que necesariamente debe afectar al electrón. Decir que un electrón sabe que lo están mirando porque cambia su comportamiento es como decir que una vela encendida sabe que la están soplando porque se apaga.
Fuente: Página/12
¿QUE ES LA MECANICA CUANTICA?
La mecánica cuántica es la física de lo muy chiquito, la rama de la física que explica lo que sucede en el mundo microscópico. Por ejemplo, lo que sucede en el interior del átomo o lo que sucede con las partículas que hay en el interior del átomo cuando salen e interactúan entre sí.
¿Por qué hay una mecánica cuántica? ¿Por qué las leyes del mundo microscópico son diferentes de las del mundo de todos los días?
Porque el comportamiento de la naturaleza no es el mismo cuando cambian las escalas, cuando cambia el tamaño de los objetos involucrados. Por ejemplo, si dejamos caer una tabla de madera lo hace con cierto estrépito. Si le acercamos un fósforo, arde con relativa dificultad. Si esa misma madera la reducimos a aserrín y lo dejamos caer, lo hace lentamente y queda suspendido en el aire durante varios segundos. Si le acercamos un fósforo, arde rápidamente. Es decir que las propiedades de la madera dependen de su tamaño. De la misma forma, las propiedades y el comportamiento de un pedazo de hierro son diferentes de las de un átomo de este metal.
LOS MODELOS ATOMICOS
La existencia de los átomos fue supuesta por Demócrito en el siglo IV a.c. Pero no se tuvieron indicios ciertos de su existencia y sus propiedades hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del inglés John Dalton. Los físicos comenzaron a sospechar que los átomos realmente existían y que eran los ladrillos que formaban la materia: todo estaba hecho de átomos.
Lo que no se sabía era cómo eran los átomos, cómo era su estructura interna. A fines del siglo XIX J. J. Thomson (otro inglés) descubrió que dentro de los átomos había unas partículas cargadas con electricidad negativa, que hoy llamamos electrones. Como, hasta donde se sabía, los átomos eran eléctricamente neutros, esas cargas negativas tenían que ser compensadas por igual cantidad de carga eléctrica positiva. Thomson imaginó a los átomos como una gran masa cargada positivamente, con los electrones (negativos) incrustados en ella como pasas en un budín. Era, justamente, el modelo del budín.
Más tarde el neocelandés Rutherford descubrió que las cargas positivas (que hoy llamamos protones) estaban concentradas en una región muy pequeña dentro del átomo, el núcleo, y que los electrones los rodeaban como planetas girando alrededor del sol. Se lo llamó el modelo planetario.
Este modelo planetario resultaba muy cómodo. Tenía el atractivo de la metáfora eficaz: poner algo desconocido (el átomo) en relación con algo conocido (el Sistema Solar). Sin embargo el modelo estaba condenado desde su nacimiento. Los físicos sabían que no podía ser completamente cierto porque la teoría electromagnética predecía (y la experiencia lo había confirmado) que las cargas eléctricas emiten energía cuando giran. Por lo tanto los átomos, con electrones girando a su alrededor, también debían emitir energía continuamente. Y eso no sólo no se había observado (salvo en el caso de las sustancias radiactivas) sino que, si así fuera, en algún momento esa energía se agotaría y el electrón caería dentro del núcleo. Lo que tampoco sucedía.
Sin embargo el modelo planetario era tan cómodo y elegante que persistió. Aún hoy la imagen que todos tenemos del átomo es la del modelo planetario. Los institutos de investigación atómica y empresas de tecnología nuclear usan el modelo planetario como emblema. Y cuando, en 1967, Grecia emitió un nuevo billete de 100 dracmas con el retrato de Demócrito, incluyó también la imagen de un átomo de litio, en su versión planetaria.
Para salvar al modelo planetario, los físicos intentaron demostrar que “de alguna manera”, “bajo ciertas condiciones”, los electrones podían girar en órbitas estables sin emitir energía, contra lo que indicaban la experiencia y la teoría electromagnética, aunque nadie sabía cómo esto podía ser posible.
EL EXPERIMENTO DE LA DOBLE RENDIJA
Lo que sabemos hoy es que los electrones no son “partículas que giran” sino “ondas que vibran”. No se sabe bien qué es lo que vibra. Pero este modelo ondulatorio evita las contradicciones del modelo planetario porque una vibración se puede mantener en el tiempo sin perder energía, como un péndulo que oscila en el vacío, sin rozamientos internos.
El problema con el modelo ondulatorio es que es contrario a la experiencia. Pero a una experiencia que no surge de la observación de la naturaleza (nadie vio directamente un electrón) sino de la observación de los libros: estamos tan acostumbrados a ver los electrones representados como partículas que nos resulta muy difícil considerarlos ondas.
Para convencerse de que los electrones son ondas y no partículas se los puede someter a un experimento hoy clásico: el experimento de la doble rendija o de los dos agujeros.
Se tiene una placa con dos agujeros. Si sobre esta placa se dispara un chorro de arena, algunos granitos pasarán por el agujero de la izquierda, otros pasarán por el agujero de la derecha y si más allá de la placa hay una pantalla para recoger los granitos, se formarán dos montones de arena, uno frente a cada agujero. Y si los agujeros están muy próximos entre sí es posible que los dos montones se superpongan, que haya una zona en común donde caigan granitos de ambos agujeros. Eso es lo que uno espera que suceda con partículas, y eso es lo que efectivamente sucede.
Si en vez de un chorro de arena lo que se dispara sobre los agujeros es un haz de ondas (como el sonido, ondas de radio u olas en el agua), el resultado es bastante diferente. Como antes, el haz se divide al pasar por los agujeros. Una parte pasa por el agujero de la izquierda y la otra por el agujero de la derecha. Una pantalla adecuada que registre la llegada de los dos haces mostrará la acumulación de las ondas en dos zonas, una frente a cada agujero. Pero en la zona central donde ambos haces se superponen ocurrirá algo especial: puede ser que en algún punto donde el haz de la derecha llegue vibrando “para allá” se encuentre con el haz de la izquierda vibrando “para acá”. Como resultado las dos vibraciones se anularán y la pantalla no registrará ninguna vibración en ese punto. Es que las ondas hacen algo que las partículas no pueden hacer: interfieren. En el punto de la pantalla donde se encuentren un granito de arena proveniente de cada agujero necesariamente aparecerán dos granitos. Pero del encuentro de dos haces, el resultado puede ser ningún haz.
Si se hace la experiencia con un haz de electrones, el resultado es el mismo que con las ondas: hay zonas donde los dos haces interfieren. Esto no es una especulación teórica: el experimento se hizo y el comportamiento del haz de electrones fue el mismo que el de una onda.
Alguien podría preguntar si el electrón realmente “es una onda” o si solamente “se comporta como una onda”. Pero la física no dice “qué” son las cosas sino “cómo” son. Es un hecho que el electrón (y las partículas subatómicas en general) se comportan como ondas. Y eso explica por lo menos una de las paradojas de la mecánica cuántica: que una partícula pueda estar en dos lugares al mismo tiempo. Uno se imagina a la partícula duplicada, cada una en una posición diferente, como dos mellizos, uno en la sala y el otro en el comedor. Si aceptamos que el electrón es una onda podemos imaginarla extendida a lo largo de todas sus posiciones. Es como una persona (sólo una) parada en la puerta que separa las dos habitaciones: está al mismo tiempo en la sala y en el comedor. Lo que no tiene nada de paradójico.
ONDAS DE PROBABILIDAD
Cuando los físicos comenzaron a aceptar que los electrones eran ondas surgió el problema de investigar la naturaleza de esas ondas. Lo que resultaba más o menos evidente era que la intensidad de esas ondas podía relacionarse con la probabilidad de ubicar el electrón en un determinado lugar del espacio. En el experimento de la doble rendija, en el punto de la pantalla donde se acumulaban más electrones, la intensidad de la onda era alta y, por lo tanto, era alta también la probabilidad de encontrar un electrón. Ahí donde no llegaban electrones, las ondas interferían, su intensidad se hacía nula o casi nula y también era nula o casi nula la probabilidad de encontrar un electrón.
Según este criterio, la onda no era algo “real” (como el sonido o las ondas de radio) sino una especie de ente matemático asociado a la partícula: estaba la partícula por un lado y, asociada a ella, la “onda de probabilidad”. De alguna manera, se trataba de mantener al electrón como partícula. Pero ¿cómo una partícula podría interferir con otra?
Una respuesta sería que la onda no iba asociada a las partículas individuales, sino a un haz de muchas de ellas. Después de todo, la probabilidad es un concepto que se aplica a conjuntos de elementos y no a elementos individuales: si queremos comprobar que la probabilidad de sacar cara al tirar una moneda es del 50% tenemos que tirar la moneda muchas veces. En el caso del experimento de la doble rendija los electrones que pasaban por un agujero podían chocar con los que pasaban por el otro y distribuirse sobre la pantalla “como si” interfirieran.
Pero el experimento de la doble rendija se puede realizar disparando los electrones uno por uno con los mismos resultados. ¿Cómo puede un electrón interferir con el anterior, que ya pasó? O, mucho peor, con el siguiente, que todavía no pasó. La respuesta es, por supuesto, que cada electrón es una onda en sí mismo y, al atravesar la placa, pasa por los dos agujeros al mismo tiempo. Una partícula no puede. Una onda, sí.
Para entender mejor este comportamiento se han planteado variantes al experimento de la doble rendija. Se pueden instalar detectores en la placa para “ver” cómo el electrón se divide en dos al pasar por cada agujero. Pero aquí surge otro problema: al electrón no lo podemos ver directamente, hay que hacerlo interactuar con otra cosa (un campo magnético, por ejemplo). Y esa interacción cambia el experimento y su resultado no es el mismo que sin detector. También se puede probar abriendo y cerrando alternativamente los agujeros para obligar al electrón a pasar por solo uno de los dos. En este caso el resultado vuelve a cambiar porque ya no sería el experimento de la “doble” rendija.
Los resultados de estos experimentos no pueden entenderse si consideramos al electrón como partícula. Richard Feynman (Premio Nobel de Física en 1965) dijo en relación con esto que “nadie entiende la mecánica cuántica”. En realidad, lo que no se entiende es cómo una partícula pueda interferir con otra. Es que no es una partícula, es una onda.
Que el electrón cambie su comportamiento según el experimento ha llevado a otro malentendido: creer que el electrón se adapta a nuestras intenciones o que “sabe” si lo están mirando. Todo se aclara cuando entendemos que cada experimento implica una interacción que necesariamente debe afectar al electrón. Decir que un electrón sabe que lo están mirando porque cambia su comportamiento es como decir que una vela encendida sabe que la están soplando porque se apaga.
Fuente: Página/12
viernes, 25 de junio de 2010
jueves, 24 de junio de 2010
Friedrich Gauss
Gauss es, sin duda, uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos.
Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edad y asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarlo porque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos los números del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría varias horas en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cinco minutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución. Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara el procedimiento que había seguido.
En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo lo siguiente:
Acomodó en una fila todos los números del 1 al 100 y debajo de esa fila acomodó, en otra fila, todos los números del 100 al 1. Después sumo las dos filas.
Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos los números del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación.
Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 =
o lo que es lo mismo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050
No se sabe si la leyenda es cierta o no pero en cualquier caso tratándose de Gauss es perfectamente posible.
Friedrich Gauss nació en Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777. Sobre su vida familiar se sabe poco pero es seguro que sus padres se preocuparon por que recibiera una buena educación desde que era un niño. A los 15 años había destacado tanto en el área de matemáticas, que recibió una beca del Duque de Brunswick para ingresar a uno de los mejores colegios de Alemania, el Colegio Carolino. En esa época Gauss descubrió varios resultados matemáticos que, aunque eran ya conocidos, eran desconocidos para él.
En 1795 ingresó a estudiar matemáticas a la Universidad de Göttingen y el Duque continuaba pagando sus estudios. En 1798 Gauss abandonó la universidad sin haberse graduado y a partir de entonces continuó su formación de manera autodidacta. Algunos historiadores piensan que Gauss no podía permanecer en las universidades ni en ninguna otra institución mucho tiempo pues como tenía un carácter muy fuerte no le era fácil hacer amigos.
Para 1799 Gauss había descubierto resultados matemáticos muy sorprendentes, entre ellos había encontrado un método para construir, con regla y compás, un polígono regular de 17 lados. En 1801 publicó el más famoso de todos su libros: "Disquisiciones Aritméticas".
A partir de 1801 Gauss se dedicó también al estudio de la astronomía, sus métodos matemáticos para calcular las posiciones de los cuerpos celestes y predecir la trayectoria que seguirían eran inmejorables. En 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen.
En 1805 se casó con Johanna Ostoff pero la felicidad de su matrimonio se vio ensombrecida por la muerte de su protector y gran amigo el Duque de Brunswick. Su mujer murió en 1808 mientras daba a luz a su segundo hijo, en ese mismo año murió también su padre. Fue una época muy difícil para él.
En 1809 se casó con la mejor amiga de su mujer, Minna, con quien tuvo tres hijos más. Minna murió en 1831 después de una larga enfermedad.
Las investigaciones de Gauss abarcan todas las áreas de las matemáticas y varias de la astronomía y la física. Fue un verdadero genio, quizás el mejor matemático que haya existido.
Gauss murió en la madrugada del 23 de febrero de 1855, murió tranquilo mientras dormía y le dejó a la humanidad uno de los mayores legados de matemáticas.
Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edad y asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarlo porque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos los números del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría varias horas en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cinco minutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución. Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara el procedimiento que había seguido.
En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo lo siguiente:
Acomodó en una fila todos los números del 1 al 100 y debajo de esa fila acomodó, en otra fila, todos los números del 100 al 1. Después sumo las dos filas.
Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos los números del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación.
Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 =
o lo que es lo mismo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050
No se sabe si la leyenda es cierta o no pero en cualquier caso tratándose de Gauss es perfectamente posible.
Friedrich Gauss nació en Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777. Sobre su vida familiar se sabe poco pero es seguro que sus padres se preocuparon por que recibiera una buena educación desde que era un niño. A los 15 años había destacado tanto en el área de matemáticas, que recibió una beca del Duque de Brunswick para ingresar a uno de los mejores colegios de Alemania, el Colegio Carolino. En esa época Gauss descubrió varios resultados matemáticos que, aunque eran ya conocidos, eran desconocidos para él.
En 1795 ingresó a estudiar matemáticas a la Universidad de Göttingen y el Duque continuaba pagando sus estudios. En 1798 Gauss abandonó la universidad sin haberse graduado y a partir de entonces continuó su formación de manera autodidacta. Algunos historiadores piensan que Gauss no podía permanecer en las universidades ni en ninguna otra institución mucho tiempo pues como tenía un carácter muy fuerte no le era fácil hacer amigos.
Para 1799 Gauss había descubierto resultados matemáticos muy sorprendentes, entre ellos había encontrado un método para construir, con regla y compás, un polígono regular de 17 lados. En 1801 publicó el más famoso de todos su libros: "Disquisiciones Aritméticas".
A partir de 1801 Gauss se dedicó también al estudio de la astronomía, sus métodos matemáticos para calcular las posiciones de los cuerpos celestes y predecir la trayectoria que seguirían eran inmejorables. En 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen.
En 1805 se casó con Johanna Ostoff pero la felicidad de su matrimonio se vio ensombrecida por la muerte de su protector y gran amigo el Duque de Brunswick. Su mujer murió en 1808 mientras daba a luz a su segundo hijo, en ese mismo año murió también su padre. Fue una época muy difícil para él.
En 1809 se casó con la mejor amiga de su mujer, Minna, con quien tuvo tres hijos más. Minna murió en 1831 después de una larga enfermedad.
Las investigaciones de Gauss abarcan todas las áreas de las matemáticas y varias de la astronomía y la física. Fue un verdadero genio, quizás el mejor matemático que haya existido.
Gauss murió en la madrugada del 23 de febrero de 1855, murió tranquilo mientras dormía y le dejó a la humanidad uno de los mayores legados de matemáticas.
viernes, 11 de junio de 2010
domingo, 30 de mayo de 2010
Acertijo
Quiero aclarar de entrada que no hay trampas, no hay cosas escondidas, todo está a la vista.
Algo más: si no conoce el ejemplo, permítame una sugerencia. Trate de pensarlo solo porque vale la pena, en particular, porque demuestra que lo que usted cree sobre usted mismo a lo mejor no es tan cierto. O, en todo caso, es incompleto.
Antonio, padre de Roberto, un niño de 8 años, sale manejando desde su casa en la Capital Federal y se dirige rumbo a Mar del Plata. Roberto, va con él. En el camino se produce un terrible accidente. Un camión, que venía de frente, se sale de su sector de la autopista y embiste de frente al auto de Antonio.
El impacto mata instantáneamente a Antonio, pero Roberto sigue con vida. Una ambulancia de la Municipalidad de Dolores llega casi de inmediato, advertida por quienes fueron ocasionales testigos, y el niño es trasladado al Hospital.
No bien llega, los médicos de guardia comienzan a tratar al chico con mucha dedicación pero, luego de charlar entre ellos y estabilizarle las condiciones vitales, deciden que no pueden resolver el problema de Roberto. Necesitan consultar con especialistas. Además, advierten el riesgo de trasladar al niño y, por eso, deciden dejarlo internado allí, en Dolores.
Luego de las averiguaciones pertinentes, se comunican con el Hospital de Niños de la Capital Federal y, finalmente, conversan con una eminencia en el tema a quien ponen en autos de lo ocurrido. Como todos concuerdan que lo mejor es dejarlo a Roberto en Dolores, la eminencia decide viajar directamente desde Buenos Aires hacia allá para revisar al paciente. Y lo hace. Los médicos del lugar le presentan el caso y esperan ansiosos su opinión.
Finalmente, uno de médicos es el primero en hablar: -”¿Está usted en condiciones de tratar al chico?”, pregunta con un hilo de voz. Y obtiene la siguiente respuesta: -”¡Cómo no lo voy a tratar si es mi hijo!”
Bien, hasta aquí, la historia. Está en usted el tratar de pensar una manera de que tenga sentido. Le insisto en que no hay trampas, no hay nada oculto. Y antes de que lea la solución, quiero agregar algunos datos:
a) Antonio no era el padrastro.
b) Antonio no era cura.
Ahora sí, lo dejo a usted y su imaginación. Eso sí, le sugiero que lea otra vez la descripción del problema y, créame, es muy, muy sencillo.
Solución
Lo notable de este problema es lo sencillo de la respuesta. Peor aún: no bien la lea, si es que usted no pudo resolverlo, se va a dar la cabeza contra la pared pensando, ¿cómo puede ser posible que no se me hubiera ocurrido?
La solución es que la eminencia de la que se habla, sea la madre.
Este punto es clave en toda la discusión del problema. Como se advierte (si quiere vuelva y relea todo), nunca se hace mención al sexo de la eminencia. En ninguna parte. Pero nosotros tenemos tan internalizado que las eminencias tienen que ser hombres que no podemos pensarla mujer.
Y esto va mucho más allá de que, puestos ante la disyuntiva explícita de decidir si una eminencia puede o no puede ser una mujer, creo que ninguno de nosotros dudaría en aceptar la posibilidad tanto en una mujer como en un hombre. Sin embargo, en este caso, falla. No siempre se obtiene esa respuesta. Más aún: hay muchas mujeres que no pueden resolver el problema y cuando conocen la solución se sienten atrapadas por la misma conducta machista que condenan.
Fuente: Adrián Paenza
Algo más: si no conoce el ejemplo, permítame una sugerencia. Trate de pensarlo solo porque vale la pena, en particular, porque demuestra que lo que usted cree sobre usted mismo a lo mejor no es tan cierto. O, en todo caso, es incompleto.
Antonio, padre de Roberto, un niño de 8 años, sale manejando desde su casa en la Capital Federal y se dirige rumbo a Mar del Plata. Roberto, va con él. En el camino se produce un terrible accidente. Un camión, que venía de frente, se sale de su sector de la autopista y embiste de frente al auto de Antonio.
El impacto mata instantáneamente a Antonio, pero Roberto sigue con vida. Una ambulancia de la Municipalidad de Dolores llega casi de inmediato, advertida por quienes fueron ocasionales testigos, y el niño es trasladado al Hospital.
No bien llega, los médicos de guardia comienzan a tratar al chico con mucha dedicación pero, luego de charlar entre ellos y estabilizarle las condiciones vitales, deciden que no pueden resolver el problema de Roberto. Necesitan consultar con especialistas. Además, advierten el riesgo de trasladar al niño y, por eso, deciden dejarlo internado allí, en Dolores.
Luego de las averiguaciones pertinentes, se comunican con el Hospital de Niños de la Capital Federal y, finalmente, conversan con una eminencia en el tema a quien ponen en autos de lo ocurrido. Como todos concuerdan que lo mejor es dejarlo a Roberto en Dolores, la eminencia decide viajar directamente desde Buenos Aires hacia allá para revisar al paciente. Y lo hace. Los médicos del lugar le presentan el caso y esperan ansiosos su opinión.
Finalmente, uno de médicos es el primero en hablar: -”¿Está usted en condiciones de tratar al chico?”, pregunta con un hilo de voz. Y obtiene la siguiente respuesta: -”¡Cómo no lo voy a tratar si es mi hijo!”
Bien, hasta aquí, la historia. Está en usted el tratar de pensar una manera de que tenga sentido. Le insisto en que no hay trampas, no hay nada oculto. Y antes de que lea la solución, quiero agregar algunos datos:
a) Antonio no era el padrastro.
b) Antonio no era cura.
Ahora sí, lo dejo a usted y su imaginación. Eso sí, le sugiero que lea otra vez la descripción del problema y, créame, es muy, muy sencillo.
Solución
Lo notable de este problema es lo sencillo de la respuesta. Peor aún: no bien la lea, si es que usted no pudo resolverlo, se va a dar la cabeza contra la pared pensando, ¿cómo puede ser posible que no se me hubiera ocurrido?
La solución es que la eminencia de la que se habla, sea la madre.
Este punto es clave en toda la discusión del problema. Como se advierte (si quiere vuelva y relea todo), nunca se hace mención al sexo de la eminencia. En ninguna parte. Pero nosotros tenemos tan internalizado que las eminencias tienen que ser hombres que no podemos pensarla mujer.
Y esto va mucho más allá de que, puestos ante la disyuntiva explícita de decidir si una eminencia puede o no puede ser una mujer, creo que ninguno de nosotros dudaría en aceptar la posibilidad tanto en una mujer como en un hombre. Sin embargo, en este caso, falla. No siempre se obtiene esa respuesta. Más aún: hay muchas mujeres que no pueden resolver el problema y cuando conocen la solución se sienten atrapadas por la misma conducta machista que condenan.
Fuente: Adrián Paenza
domingo, 16 de mayo de 2010
A pensar...
Sir Ernest Rutherford, presidente de la Sociedad Real Británica y Premio Nobel de Química en 1908, contaba la siguiente anécdota:
"Hace algún tiempo, recibí la llamada de un colega. Estaba a punto de poner un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física, pese a que este afirmaba con rotundidad que su respuesta era absolutamente acertada. Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fui elegido yo. Leí la pregunta del examen: "Demuestre como es posible determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro".
El estudiante había respondido: "lleve el barómetro a la azotea del edificio y átele una cuerda muy larga. Descuélguelo hasta la base del edificio, marque y mida. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio".
Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta correcta y completamente. Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de su año de estudios, obtener una nota mas alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel. Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física.
Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le pregunté si deseaba marcharse, pero me contestó que tenía muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. Me excusé por interrumpirle y le rogué que continuara. En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta: tome el barómetro y déjelo caer al suelo desde la azotea del edificio, mida el tiempo de caída con un cronómetro. Después aplique la ecuación: altura = 0,5*g*t^2. Y así obtenemos la altura del edificio. En este punto le pregunté a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le dio la nota más alta.
Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta. Bueno, respondió, hay muchas maneras, por ejemplo, tomas el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro y la longitud de su sombra. Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio.
Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? Sí, contesto, este es un procedimiento muy básico: para medir un edificio, pero también sirve. En este método, tomas el barómetro y te sitúas en las escaleras del edificio en la planta baja. Según subes las escaleras, vas marcando la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas al final la altura del barómetro por el número de marcas que has hecho y ya tienes la altura.
Este es un método muy directo. Por supuesto, si lo que quiere es un procedimiento mas sofisticado, puede atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Si calculamos que cuando el barómetro esta a la altura de la azotea la gravedad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla fórmula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio. En este mismo estilo de sistema, atas el barómetro a una cuerda y lo descuelgas desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo puedes calcular la altura midiendo su periodo de oscilación. En fin, concluyó, existen otras muchas maneras. Probablemente, la mejor sea tomar el barómetro y golpear con el la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle:
“Señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo”. En este momento de la conversación, le pregunté si no conocía la respuesta convencional al problema (la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares) dijo que la conocía, pero que durante sus estudios, sus profesores habían intentado enseñarle a pensar".
El estudiante se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922, más conocido por ser el primero en proponer el modelo de átomo con protones y neutrones y los electrones que lo rodeaban. Fue fundamentalmente un innovador de la teoría cuántica.
"Hace algún tiempo, recibí la llamada de un colega. Estaba a punto de poner un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física, pese a que este afirmaba con rotundidad que su respuesta era absolutamente acertada. Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fui elegido yo. Leí la pregunta del examen: "Demuestre como es posible determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro".
El estudiante había respondido: "lleve el barómetro a la azotea del edificio y átele una cuerda muy larga. Descuélguelo hasta la base del edificio, marque y mida. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio".
Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta correcta y completamente. Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de su año de estudios, obtener una nota mas alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel. Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física.
Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le pregunté si deseaba marcharse, pero me contestó que tenía muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. Me excusé por interrumpirle y le rogué que continuara. En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta: tome el barómetro y déjelo caer al suelo desde la azotea del edificio, mida el tiempo de caída con un cronómetro. Después aplique la ecuación: altura = 0,5*g*t^2. Y así obtenemos la altura del edificio. En este punto le pregunté a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le dio la nota más alta.
Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta. Bueno, respondió, hay muchas maneras, por ejemplo, tomas el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro y la longitud de su sombra. Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio.
Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? Sí, contesto, este es un procedimiento muy básico: para medir un edificio, pero también sirve. En este método, tomas el barómetro y te sitúas en las escaleras del edificio en la planta baja. Según subes las escaleras, vas marcando la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas al final la altura del barómetro por el número de marcas que has hecho y ya tienes la altura.
Este es un método muy directo. Por supuesto, si lo que quiere es un procedimiento mas sofisticado, puede atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Si calculamos que cuando el barómetro esta a la altura de la azotea la gravedad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla fórmula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio. En este mismo estilo de sistema, atas el barómetro a una cuerda y lo descuelgas desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo puedes calcular la altura midiendo su periodo de oscilación. En fin, concluyó, existen otras muchas maneras. Probablemente, la mejor sea tomar el barómetro y golpear con el la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle:
“Señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo”. En este momento de la conversación, le pregunté si no conocía la respuesta convencional al problema (la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares) dijo que la conocía, pero que durante sus estudios, sus profesores habían intentado enseñarle a pensar".
El estudiante se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922, más conocido por ser el primero en proponer el modelo de átomo con protones y neutrones y los electrones que lo rodeaban. Fue fundamentalmente un innovador de la teoría cuántica.
lunes, 21 de septiembre de 2009
jueves, 18 de junio de 2009
jueves, 11 de junio de 2009
miércoles, 10 de junio de 2009
Demostraciones increíbles
Solomon W. Golomb, siguiendo los pasos de Lewis Caroll y su “demostraciones” absurdas, pero a la vez llevadas a cabo con un razonamiento lógico exquisito, toma como punto de partida varias premisas que indiscutiblemente (o casi) son verdaderas y, a partir de ellas, jugando con las palabras y siguiendo una lógica también impecable, es capaz de llegar a conclusiones increíbles. Por ejemplo:
Teorema 1: “Las personas apáticas no son seres humanos”
Demostración:
Todos los seres humanos son diferentes
Todas las personas apáticas son indiferentes
Por lo tanto, ninguna persona apática es un ser humano
Teorema 2: “Todas las investigaciones incompletas son subjetivas”
Demostración:
Todas las investigaciones incompletas son investigaciones parciales
Todas las investigaciones objetivas son investigaciones imparciales
Por lo tanto, ninguna investigación incompleta es objetiva.
Teorema 3: “Todos los gobiernos son injustos” (no estoy tan seguro de que el lector vea esta afirmación como falsa. En ese caso ya tiene una “demostración” para justificar su punto de vista ante los demás)
Demostración:
Para demostrar la afirmación de todos los gobiernos es suficiente probarlo para cada gobierno arbitrario escogido. Si un gobierno es arbitrario, obviamente es injusto. Como esto es verdad para cualquier gobierno arbitrario que tomemos, esto es verdad para todos los gobiernos.
Teorema 4: Los enamorados (recién conocidos, amigos) no son embaucadores
Demostración:
Todos los embaucadores timan
Todos los enamorados (recién conocidos, amigos) intiman
Por lo tanto, ningún enamorado es un embaucador
Teorema 5: Mañana voy a estar muerto
Demostración:
Todo lo que es verdad es cierto
Que voy a estar vivo mañana es incierto
Por lo tanto, no es verdad que voy a estar vivo mañana
Fuente: www.sferrerobravo.wordpress.com
Teorema 1: “Las personas apáticas no son seres humanos”
Demostración:
Todos los seres humanos son diferentes
Todas las personas apáticas son indiferentes
Por lo tanto, ninguna persona apática es un ser humano
Teorema 2: “Todas las investigaciones incompletas son subjetivas”
Demostración:
Todas las investigaciones incompletas son investigaciones parciales
Todas las investigaciones objetivas son investigaciones imparciales
Por lo tanto, ninguna investigación incompleta es objetiva.
Teorema 3: “Todos los gobiernos son injustos” (no estoy tan seguro de que el lector vea esta afirmación como falsa. En ese caso ya tiene una “demostración” para justificar su punto de vista ante los demás)
Demostración:
Para demostrar la afirmación de todos los gobiernos es suficiente probarlo para cada gobierno arbitrario escogido. Si un gobierno es arbitrario, obviamente es injusto. Como esto es verdad para cualquier gobierno arbitrario que tomemos, esto es verdad para todos los gobiernos.
Teorema 4: Los enamorados (recién conocidos, amigos) no son embaucadores
Demostración:
Todos los embaucadores timan
Todos los enamorados (recién conocidos, amigos) intiman
Por lo tanto, ningún enamorado es un embaucador
Teorema 5: Mañana voy a estar muerto
Demostración:
Todo lo que es verdad es cierto
Que voy a estar vivo mañana es incierto
Por lo tanto, no es verdad que voy a estar vivo mañana
Fuente: www.sferrerobravo.wordpress.com
El grosero error de cálculo
En la Argentina, hasta hace algunos años, los autos tenían en las “chapas patentes” que los identificaban una combinación de una letra y luego seis o siete números.
La letra se utilizaba para distinguir la provincia. El número que seguía identificaba el auto. Por ejemplo, una “chapa patente” de un auto radicado en la provincia de Córdoba era así:
X357892
Y uno de la provincia de San Juan,
J243781
Los de la provincia de Buenos Aires y los de la Capital Federal comenzaron a presentar un problema. Como el parque automotor superaba el millón de vehículos, se utilizaba –aparte de la letra B para Buenos Aires y C para la Capital– un número que ahora consistía de siete dígitos. Por ejemplo, se podían ver por la calle autos con patentes como éstas:
B1793852
O bien:
C1007253
Es decir, se necesitaba “empequeñecer” al número después de la letra (que indicaba a “qué millón” pertenecía el auto) porque ya no había más espacio disponible.
Toda esta introducción es para presentar la “solución” (?) que se encontró... y el ERROR GROSERO que se cometió. La idea fue cambiar todo el sistema de patentamiento de vehículos del país y utilizar tres letras y tres dígitos.
La idea era conservar la primera letra como identificatoria de la provincia y aprovechar que, como el número de letras en el alfabeto es mayor que el número de dígitos, se tendría la cantidad deseada de “patentes” para resolver el problema.
Por ejemplo patentes posibles serían:
NDC 378
O bien:
XEE 599
Ahora bien. Estaba todo listo para empezar el “re-patentamiento”, cuando apareció un problema. Pero antes de exhibir cuál fue, quiero invitarlo a pensar (conmigo) cuántas patentes se pueden escribir de esa forma.
Piense en la información que viene en una “chapa patente”: se tienen tres letras y tres números. Pero como se pretendía que la primera letra estuviera fija para cada provincia, en realidad, hay SOLAMENTE dos letras y tres números con los que “jugar”.
El alfabeto castellano, excluyendo la letra “ñ”, tiene veintiséis letras. ¿Cómo hacer para contar los pares diferentes que se pueden formar? En lugar de mirar la respuesta que yo voy a escribir más abajo, piense (un poco) sola/o.
Una ayuda: los pares podrían ser
AA, AB, AC, AD, AE, AF, ...., AX, AY, AZ
(o sea, hay 26 que empiezan con la letra A). Luego, seguirían (si los pensamos ordenadamente)
BA, BB, BC, BD, BE, .... , BX, BY, BZ
(otra vez veintiséis, que son los que empiezan con la letra B).
Podríamos ahora escribir los que empiezan con la letra C y tendríamos otros veintiséis. Y así siguiendo. Entonces, por cada letra para empezar, tenemos 26 posibilidades para aparear. O sea, hay en total, 26 x 26 = 676 pares de letras.
Ahora bien. Ya hemos contabilizado todas las combinaciones posibles de tres letras. La primera identifica la provincia, y para las dos siguientes tenemos 676 posibilidades.
Ahora, nos falta “contar” cuántas posibilidades tenemos para los tres números. Pero esto es más fácil. ¿Cuántas ternas se pueden formar con tres números? Si uno empieza con la terna
000
y sigue, 001, 002, 003,... hasta llegar a 997, 998, 999... el total es entonces 1000 (mil) (¿entiende por qué es mil y no 999?) (si quiere pensar sola/o, mejor. Si no, piense que las ternas comienzan en el “triple cero”).
Bien. Ya tenemos todas las herramientas que necesitamos.
Cada provincia (luego, eso fija la primera letra) tiene 676 posibilidades para las letras y 1000 posibilidades para las ternas de números.
En total, entonces, hay ¡¡676.000!! combinaciones. Como usted advierte, este número hubiera sido suficiente para algunas provincias de la Argentina, pero no para las más pobladas, y mucho menos con la idea de resolver el problema que había originado todo el cambio.
¿Qué solución encontraron entonces, luego de haber hecho la campaña para “modernizar” el patentamiento y “actualizar” la base de datos del parque automotor?
Tuvieron que “liberar” la primera letra. En ese caso, cuando ya no hay restricción para la primera letra (que no necesita estar asociada a una provincia) hay entonces 26 posibilidades más para cada una de las 676.000 combinaciones de los “cinco” lugares restantes (las dos letras y los tres dígitos).
(Para entender esto: tome una de las 676.000 combinaciones posibles. Agrégueles la letra A al principio. Ahora, tome las mismas 676.000 y agrégueles la letra B al principio. Como se ve, ahora uno ha duplicado el número de “patentes”. Si uno ahora agrega la letra C al principio, triplica el número. Si sigue con este proceso y va utilizando cada una de las 26 letras del alfabeto, encuentra que ha multiplicado por 26 las posibilidades que tenía antes.)
Luego, el número total es
26 x 676.000 = 17.576.000
Ahora sí, con más de 17 millones de “chapas patentes” disponibles, no hay más conflictos..., al menos, en el futuro inmediato (dentro de cinco años, hablamos nuevamente). Pero lo peor es que ya no se sabe a qué provincia pertenece cada auto (como se pretendía en un principio). Por último: ¿hubo algún responsable de un error tan grosero? ¿Quiénes fueron los que hicieron las cálculos iniciales que ocasionaron semejante aberración?
Fuente: www.pagina12.com.ar/imprimir/diario/contratapa/index-2007-07-05.html
La letra se utilizaba para distinguir la provincia. El número que seguía identificaba el auto. Por ejemplo, una “chapa patente” de un auto radicado en la provincia de Córdoba era así:
X357892
Y uno de la provincia de San Juan,
J243781
Los de la provincia de Buenos Aires y los de la Capital Federal comenzaron a presentar un problema. Como el parque automotor superaba el millón de vehículos, se utilizaba –aparte de la letra B para Buenos Aires y C para la Capital– un número que ahora consistía de siete dígitos. Por ejemplo, se podían ver por la calle autos con patentes como éstas:
B1793852
O bien:
C1007253
Es decir, se necesitaba “empequeñecer” al número después de la letra (que indicaba a “qué millón” pertenecía el auto) porque ya no había más espacio disponible.
Toda esta introducción es para presentar la “solución” (?) que se encontró... y el ERROR GROSERO que se cometió. La idea fue cambiar todo el sistema de patentamiento de vehículos del país y utilizar tres letras y tres dígitos.
La idea era conservar la primera letra como identificatoria de la provincia y aprovechar que, como el número de letras en el alfabeto es mayor que el número de dígitos, se tendría la cantidad deseada de “patentes” para resolver el problema.
Por ejemplo patentes posibles serían:
NDC 378
O bien:
XEE 599
Ahora bien. Estaba todo listo para empezar el “re-patentamiento”, cuando apareció un problema. Pero antes de exhibir cuál fue, quiero invitarlo a pensar (conmigo) cuántas patentes se pueden escribir de esa forma.
Piense en la información que viene en una “chapa patente”: se tienen tres letras y tres números. Pero como se pretendía que la primera letra estuviera fija para cada provincia, en realidad, hay SOLAMENTE dos letras y tres números con los que “jugar”.
El alfabeto castellano, excluyendo la letra “ñ”, tiene veintiséis letras. ¿Cómo hacer para contar los pares diferentes que se pueden formar? En lugar de mirar la respuesta que yo voy a escribir más abajo, piense (un poco) sola/o.
Una ayuda: los pares podrían ser
AA, AB, AC, AD, AE, AF, ...., AX, AY, AZ
(o sea, hay 26 que empiezan con la letra A). Luego, seguirían (si los pensamos ordenadamente)
BA, BB, BC, BD, BE, .... , BX, BY, BZ
(otra vez veintiséis, que son los que empiezan con la letra B).
Podríamos ahora escribir los que empiezan con la letra C y tendríamos otros veintiséis. Y así siguiendo. Entonces, por cada letra para empezar, tenemos 26 posibilidades para aparear. O sea, hay en total, 26 x 26 = 676 pares de letras.
Ahora bien. Ya hemos contabilizado todas las combinaciones posibles de tres letras. La primera identifica la provincia, y para las dos siguientes tenemos 676 posibilidades.
Ahora, nos falta “contar” cuántas posibilidades tenemos para los tres números. Pero esto es más fácil. ¿Cuántas ternas se pueden formar con tres números? Si uno empieza con la terna
000
y sigue, 001, 002, 003,... hasta llegar a 997, 998, 999... el total es entonces 1000 (mil) (¿entiende por qué es mil y no 999?) (si quiere pensar sola/o, mejor. Si no, piense que las ternas comienzan en el “triple cero”).
Bien. Ya tenemos todas las herramientas que necesitamos.
Cada provincia (luego, eso fija la primera letra) tiene 676 posibilidades para las letras y 1000 posibilidades para las ternas de números.
En total, entonces, hay ¡¡676.000!! combinaciones. Como usted advierte, este número hubiera sido suficiente para algunas provincias de la Argentina, pero no para las más pobladas, y mucho menos con la idea de resolver el problema que había originado todo el cambio.
¿Qué solución encontraron entonces, luego de haber hecho la campaña para “modernizar” el patentamiento y “actualizar” la base de datos del parque automotor?
Tuvieron que “liberar” la primera letra. En ese caso, cuando ya no hay restricción para la primera letra (que no necesita estar asociada a una provincia) hay entonces 26 posibilidades más para cada una de las 676.000 combinaciones de los “cinco” lugares restantes (las dos letras y los tres dígitos).
(Para entender esto: tome una de las 676.000 combinaciones posibles. Agrégueles la letra A al principio. Ahora, tome las mismas 676.000 y agrégueles la letra B al principio. Como se ve, ahora uno ha duplicado el número de “patentes”. Si uno ahora agrega la letra C al principio, triplica el número. Si sigue con este proceso y va utilizando cada una de las 26 letras del alfabeto, encuentra que ha multiplicado por 26 las posibilidades que tenía antes.)
Luego, el número total es
26 x 676.000 = 17.576.000
Ahora sí, con más de 17 millones de “chapas patentes” disponibles, no hay más conflictos..., al menos, en el futuro inmediato (dentro de cinco años, hablamos nuevamente). Pero lo peor es que ya no se sabe a qué provincia pertenece cada auto (como se pretendía en un principio). Por último: ¿hubo algún responsable de un error tan grosero? ¿Quiénes fueron los que hicieron las cálculos iniciales que ocasionaron semejante aberración?
Fuente: www.pagina12.com.ar/imprimir/diario/contratapa/index-2007-07-05.html
martes, 2 de junio de 2009
lunes, 1 de junio de 2009
domingo, 24 de mayo de 2009
La matemática puede salvar matrimonios
Las matemáticas no son sólo un concepto abstracto, sino que tienen numerosas aplicaciones prácticas, entre ellas la de consejero matrimonial o la de instrumento de los médicos para conocer la evolución de los tumores cerebrales.
Esta es la teoría que defiende el matemático James Murray, que asegura que con un simple modelo matemático elaborado junto a colegas de la Universidad de Oxford (Reino Unido) ha podido predecir tasas de divorcio con una precisión del 94 por ciento.
Murray, que pronunció una conferencia en la Royal Society de Londres, explicó que estudiaron el caso de 700 parejas recién casadas, a las que grabaron mientras hablaban sobre un tema controvertido -dinero, sexo o familia política- y a las que pusieron nota en cada una de sus intervenciones.
Las puntuaciones positivas fueron para las expresiones de humor y de afecto, mientras que se puntuó de manera negativa las actitudes de enfado y desprecio o ponerse a la defensiva.
Murray y su equipo emplearon esas puntuaciones, junto al modelo matemático que elaboraron, para identificar los distintos tipos de parejas y predecir sus posibilidades de supervivencia.
Posteriormente se hizo un seguimiento de los matrimonios, en intervalos de 1 o 2 años durante un total de 12 años, y pudieron confirmar la "asombrosa exactitud" del modelo de predicción.
"Lo que me dejó pasmado fue que una discusión, a veces subida de tono y muy emocional, se pudiera encapsular de manera tan sencilla y tan útil en lo que se ha convertido en un simple modelo matemático sobre la interacción en las parejas", explicó el matemático.
Murray aclaró que "no dijimos a ninguna pareja cuál era la predicción del modelo".
Fuente: www.lavanguardia.es
Esta es la teoría que defiende el matemático James Murray, que asegura que con un simple modelo matemático elaborado junto a colegas de la Universidad de Oxford (Reino Unido) ha podido predecir tasas de divorcio con una precisión del 94 por ciento.
Murray, que pronunció una conferencia en la Royal Society de Londres, explicó que estudiaron el caso de 700 parejas recién casadas, a las que grabaron mientras hablaban sobre un tema controvertido -dinero, sexo o familia política- y a las que pusieron nota en cada una de sus intervenciones.
Las puntuaciones positivas fueron para las expresiones de humor y de afecto, mientras que se puntuó de manera negativa las actitudes de enfado y desprecio o ponerse a la defensiva.
Murray y su equipo emplearon esas puntuaciones, junto al modelo matemático que elaboraron, para identificar los distintos tipos de parejas y predecir sus posibilidades de supervivencia.
Posteriormente se hizo un seguimiento de los matrimonios, en intervalos de 1 o 2 años durante un total de 12 años, y pudieron confirmar la "asombrosa exactitud" del modelo de predicción.
"Lo que me dejó pasmado fue que una discusión, a veces subida de tono y muy emocional, se pudiera encapsular de manera tan sencilla y tan útil en lo que se ha convertido en un simple modelo matemático sobre la interacción en las parejas", explicó el matemático.
Murray aclaró que "no dijimos a ninguna pareja cuál era la predicción del modelo".
Fuente: www.lavanguardia.es
viernes, 15 de mayo de 2009
¿Porque no se puede viajar más rápido que la luz?
Probablemente escucho que nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, pero ¿alguna vez se pregunto cómo se formulo esta regla?
Supongamos que estas viajando en una nave espacial y se aceleras mas y mas hasta acercarse a la velocidad de la luz. ¿Qué ocurre? ¿Se evapora el combustible de la nave? ¿Nos desvanecemos del universo conocido? ¿Viajamos al pasado?
La respuesta correcta no es ninguna de las de arriba. No te sientas mal si no lo sabes, nadie lo supo hasta que Albert Einstein lo descubrió.
La manera más fácil de entender las explicaciones de Einstein es entender una simple ecuación que probablemente hayas visto alguna vez: e = mc2.
Para entender esta ecuación, consideremos una similar, una para convertir pulgadas cuadradas en pies cuadrados. Si “x” es el numero de pulgadas cuadradas e “y” es el numero de pies cuadrados, entonces podemos escribir la ecuación: x = 144y. El 144 sale de elevar al cuadrado el número de pulgadas por pie (122 = 144). Otra manera de escribir la misma ecuación seria x = c2y, donde c en ente caso es igual a 12 pulgadas por pie. Dependiendo en que unidad usemos, esta ecuación se puede usar para convertir cualquier medida de área en otra cualquier medida de área; solo que la constante c sería diferente.
Por ejemplo, la misma ecuación se puede usar para convertir yardas cuadradas en metros cuadrados, donde c2 es 0,9144, el número de yardas por metro. La c2 es solo la constante de conversión.
El motivo por el que funcionan estas ecuaciones de áreas es que pies cuadrados y pulgadas cuadradas son diferentes formas de medir lo mismo, en este caso áreas. Lo que descubrió Einstein, para sorpresa de todos, fue que energía y masa también son diferentes formas de medir lo mismo. Resulta que solo un poco de masa es igual a una gran cantidad de energía, entonces en la ecuación, la constante de conversión es muy grande.
Por ejemplo, si medimos masa en kilogramos y energía en joule, la ecuación se puede escribir así: e = 90.000.000.000.000.000m. Esto significa que una batería cargada (que contiene casi 1 millón de joules de energía) pesa 0,0000000001 gramo más que una batería descargada.
Si trabajamos con diferentes unidades, la constante de conversión será diferente. Por ejemplo, si medimos masa en toneladas y energía en BTUs, entonces c será 93.856.000.000.000.000. Si medimos energía y masa en lo que los físicos llaman “la unidad natural” (en la cual c = 1), escribiríamos la ecuación: e = m, lo que la hace más fácil de entender; solo significa que masa y energía son la misma cosa.
No importa que la energía sea energía eléctrica, energía química, o energía atómica. Todas pesan la misma cantidad por unidad de energía. De hecho, la ecuación aun funciona con algo que los físicos llaman energía cinética, que es la energía que posee algo al moverse. Por ejemplo, cuando le pego a una pelota de tenis, le doy energía a la pelota al pegarle con mi raqueta. De acuerdo con la ecuación de Einstein, la pelota adquiere más peso cuando le pego. Cuanto más fuerte le pego, más rápido viaja y se vuelve más pesada. Usando la ecuación de Einstein, e = mc2, calculo que si tiro la pelota a una velocidad de 100 kilómetros por hora, (yo no puedo, pero un buen tenista si) esta se vuelve más pesada 0,000000000002 gramos, que no es mucho.
Ahora, volvamos a la nave espacial. Asumamos que la nave recibe energía de una fuente externa, así que no hay que preocuparse por llevar combustible. A medida que usted viaja en su nave espacial cada vez más rápido, va agregando más y más energía a la nave al acelerarla, así que la nave gana más peso (debería decir más masa en lugar de más peso ya que no hay gravedad en el espacio). Para cuando alcance el 90% de la velocidad de la luz, la nave tendrá tanta energía que casi tendrá el doble de masa original. Se vuelve cada vez más difícil empujarla para los motores, porque es muy pesada. A medida que se acerque a la velocidad de la luz, retorna la disminución: a mas energía que tiene la nave, más pesada, mas energía necesaria para acelerarla solo un poco, más pesada, y así.
Los efectos son aun peores de lo que piensa por lo que ocurre dentro de la nave. Después de todo, todo dentro de la nave, incluso usted, se está acelerando, adquiriendo más y más energía y siendo más y más pesada.
De hecho, usted y toda la maquinaria de la nave se vuelven muy inactivos. Su reloj, por ejemplo, que suele pesar solo unos gramos, ahora pesaría casi 40 toneladas. Y las agujas de su reloj no se vuelven más fuertes, así que se moverían mucho más lentamente. No solo su reloj funcionaria más lentamente sino también su reloj biológico interno. Usted no lo notaria porque sus neuronas seria más pesadas y sus pensamientos serian lentos, exactamente como su reloj. En lo que a usted respecta, su reloj funcionaria exactamente igual que antes (los físicos llaman a esto Contracción del tiempo relativista).
La otra cosa que sería más lenta es la maquinaria de la nave. Así su nave espacial gana peso, su motor se vuelve inactivo, y cuanto más cerca esta de la velocidad de la luz, peor se pone. Se vuelve cada vez más y más difícil, y no importa cuán duro lo intente, no podrá superar la barrera de la luz. Y es por eso que no se puede viajar más rápido que la velocidad de la luz.
Fuente: www.blogs.clarin.com/macrometanoia
Supongamos que estas viajando en una nave espacial y se aceleras mas y mas hasta acercarse a la velocidad de la luz. ¿Qué ocurre? ¿Se evapora el combustible de la nave? ¿Nos desvanecemos del universo conocido? ¿Viajamos al pasado?
La respuesta correcta no es ninguna de las de arriba. No te sientas mal si no lo sabes, nadie lo supo hasta que Albert Einstein lo descubrió.
La manera más fácil de entender las explicaciones de Einstein es entender una simple ecuación que probablemente hayas visto alguna vez: e = mc2.
Para entender esta ecuación, consideremos una similar, una para convertir pulgadas cuadradas en pies cuadrados. Si “x” es el numero de pulgadas cuadradas e “y” es el numero de pies cuadrados, entonces podemos escribir la ecuación: x = 144y. El 144 sale de elevar al cuadrado el número de pulgadas por pie (122 = 144). Otra manera de escribir la misma ecuación seria x = c2y, donde c en ente caso es igual a 12 pulgadas por pie. Dependiendo en que unidad usemos, esta ecuación se puede usar para convertir cualquier medida de área en otra cualquier medida de área; solo que la constante c sería diferente.
Por ejemplo, la misma ecuación se puede usar para convertir yardas cuadradas en metros cuadrados, donde c2 es 0,9144, el número de yardas por metro. La c2 es solo la constante de conversión.
El motivo por el que funcionan estas ecuaciones de áreas es que pies cuadrados y pulgadas cuadradas son diferentes formas de medir lo mismo, en este caso áreas. Lo que descubrió Einstein, para sorpresa de todos, fue que energía y masa también son diferentes formas de medir lo mismo. Resulta que solo un poco de masa es igual a una gran cantidad de energía, entonces en la ecuación, la constante de conversión es muy grande.
Por ejemplo, si medimos masa en kilogramos y energía en joule, la ecuación se puede escribir así: e = 90.000.000.000.000.000m. Esto significa que una batería cargada (que contiene casi 1 millón de joules de energía) pesa 0,0000000001 gramo más que una batería descargada.
Si trabajamos con diferentes unidades, la constante de conversión será diferente. Por ejemplo, si medimos masa en toneladas y energía en BTUs, entonces c será 93.856.000.000.000.000. Si medimos energía y masa en lo que los físicos llaman “la unidad natural” (en la cual c = 1), escribiríamos la ecuación: e = m, lo que la hace más fácil de entender; solo significa que masa y energía son la misma cosa.
No importa que la energía sea energía eléctrica, energía química, o energía atómica. Todas pesan la misma cantidad por unidad de energía. De hecho, la ecuación aun funciona con algo que los físicos llaman energía cinética, que es la energía que posee algo al moverse. Por ejemplo, cuando le pego a una pelota de tenis, le doy energía a la pelota al pegarle con mi raqueta. De acuerdo con la ecuación de Einstein, la pelota adquiere más peso cuando le pego. Cuanto más fuerte le pego, más rápido viaja y se vuelve más pesada. Usando la ecuación de Einstein, e = mc2, calculo que si tiro la pelota a una velocidad de 100 kilómetros por hora, (yo no puedo, pero un buen tenista si) esta se vuelve más pesada 0,000000000002 gramos, que no es mucho.
Ahora, volvamos a la nave espacial. Asumamos que la nave recibe energía de una fuente externa, así que no hay que preocuparse por llevar combustible. A medida que usted viaja en su nave espacial cada vez más rápido, va agregando más y más energía a la nave al acelerarla, así que la nave gana más peso (debería decir más masa en lugar de más peso ya que no hay gravedad en el espacio). Para cuando alcance el 90% de la velocidad de la luz, la nave tendrá tanta energía que casi tendrá el doble de masa original. Se vuelve cada vez más difícil empujarla para los motores, porque es muy pesada. A medida que se acerque a la velocidad de la luz, retorna la disminución: a mas energía que tiene la nave, más pesada, mas energía necesaria para acelerarla solo un poco, más pesada, y así.
Los efectos son aun peores de lo que piensa por lo que ocurre dentro de la nave. Después de todo, todo dentro de la nave, incluso usted, se está acelerando, adquiriendo más y más energía y siendo más y más pesada.
De hecho, usted y toda la maquinaria de la nave se vuelven muy inactivos. Su reloj, por ejemplo, que suele pesar solo unos gramos, ahora pesaría casi 40 toneladas. Y las agujas de su reloj no se vuelven más fuertes, así que se moverían mucho más lentamente. No solo su reloj funcionaria más lentamente sino también su reloj biológico interno. Usted no lo notaria porque sus neuronas seria más pesadas y sus pensamientos serian lentos, exactamente como su reloj. En lo que a usted respecta, su reloj funcionaria exactamente igual que antes (los físicos llaman a esto Contracción del tiempo relativista).
La otra cosa que sería más lenta es la maquinaria de la nave. Así su nave espacial gana peso, su motor se vuelve inactivo, y cuanto más cerca esta de la velocidad de la luz, peor se pone. Se vuelve cada vez más y más difícil, y no importa cuán duro lo intente, no podrá superar la barrera de la luz. Y es por eso que no se puede viajar más rápido que la velocidad de la luz.
Fuente: www.blogs.clarin.com/macrometanoia
jueves, 7 de mayo de 2009
martes, 5 de mayo de 2009
Ls tres interruptores
Se tiene una habitación vacía salvo porque hay colgada desde el techo una bombita de luz.
El interruptor que activa la luz se encuentra en la parte exterior de la pieza. Es más: no sólo hay un interruptor, sino que hay tres iguales, indistinguibles.
Uno sabe que sólo una de las “llaves” activa la luz (y que la luz funciona, naturalmente).
El problema consiste en lo siguiente: la puerta de la habitación está cerrada. Uno tiene el tiempo que quiera para “jugar” con los interruptores. Puede hacer cualquier combinación que quiera con ellos, pero puede entrar en la pieza sólo una vez. En el momento de salir, uno debe estar en condiciones de poder decir: “Esta es la llave que activa la luz”. Los tres interruptores son iguales y están los tres en la misma posición: la de “apagado”.
A los efectos de aclarar aún más: mientras la puerta está cerrada y uno está afuera, puede entretenerse con los interruptores tanto como quiera. Pero habrá un momento en que decidirá entrar en la pieza. No hay problemas. Uno lo hace. Pero cuando sale, tiene que poder contestar la pregunta de cuál de los tres interruptores es el que activa la lamparita.
Una vez más, el problema no tiene trampas. No es que se vea por debajo de la puerta, ni que haya una ventana que da al exterior y que le permita a uno ver qué es lo que pasa adentro, nada de eso. El problema se puede resolver sin golpes bajos.
Fuente: Adrián Paenza
El interruptor que activa la luz se encuentra en la parte exterior de la pieza. Es más: no sólo hay un interruptor, sino que hay tres iguales, indistinguibles.
Uno sabe que sólo una de las “llaves” activa la luz (y que la luz funciona, naturalmente).
El problema consiste en lo siguiente: la puerta de la habitación está cerrada. Uno tiene el tiempo que quiera para “jugar” con los interruptores. Puede hacer cualquier combinación que quiera con ellos, pero puede entrar en la pieza sólo una vez. En el momento de salir, uno debe estar en condiciones de poder decir: “Esta es la llave que activa la luz”. Los tres interruptores son iguales y están los tres en la misma posición: la de “apagado”.
A los efectos de aclarar aún más: mientras la puerta está cerrada y uno está afuera, puede entretenerse con los interruptores tanto como quiera. Pero habrá un momento en que decidirá entrar en la pieza. No hay problemas. Uno lo hace. Pero cuando sale, tiene que poder contestar la pregunta de cuál de los tres interruptores es el que activa la lamparita.
Una vez más, el problema no tiene trampas. No es que se vea por debajo de la puerta, ni que haya una ventana que da al exterior y que le permita a uno ver qué es lo que pasa adentro, nada de eso. El problema se puede resolver sin golpes bajos.
Fuente: Adrián Paenza
lunes, 4 de mayo de 2009
Castigo matemático
Contagiados por el amor a las matemáticas del rey de un pueblo vecino, otros reyes decidieron castigar ellos también, a aquellas personas que odiaran a las matemáticas. Así aparecieron los distintos castigos matemáticos.
En el pueblo que nos toca hoy, el rey amaba la geometría por sobre todas las cosas, es por ello que imponía el siguiente castigo:
Los castigados debían dibujar y pintar en una inmensa pared cuatro inmensas figuras geométricas:
1. Un círculo tangente al piso
2. Un cuadrado con un lado apoyado sobre el piso
3. Un triángulo equilátero con una de sus bases apoyada sobre el piso y
4. Un triángulo rectángulo isósceles con uno de sus lados iguales apoyados sobre el piso.
Todas las figuras tenían la misma superficie.
El trabajo de pintar las figuras le llevaba a una persona todo el resto de su vida.
Sin embargo había una forma de evitar el castigo, claro que para ello había que saber matemáticas, ya que el rey hacía una pregunta, si ésta contestaba bien, la persona era absuelta, en tanto que si contestaba mal se la mataba en ese mismo instante, en cambio si la persona decidía no contestar le correspondía cumplir el castigo.
La pregunta era la siguiente :
Si pintara las cuatro figuras, ¿cuál sería la más alta?
Como tu lector, sabes matemáticas, me podrás responder correctamente la pregunta.
Fuente: http://simplementenumeros.blogspot.com
En el pueblo que nos toca hoy, el rey amaba la geometría por sobre todas las cosas, es por ello que imponía el siguiente castigo:
Los castigados debían dibujar y pintar en una inmensa pared cuatro inmensas figuras geométricas:
1. Un círculo tangente al piso
2. Un cuadrado con un lado apoyado sobre el piso
3. Un triángulo equilátero con una de sus bases apoyada sobre el piso y
4. Un triángulo rectángulo isósceles con uno de sus lados iguales apoyados sobre el piso.
Todas las figuras tenían la misma superficie.
El trabajo de pintar las figuras le llevaba a una persona todo el resto de su vida.
Sin embargo había una forma de evitar el castigo, claro que para ello había que saber matemáticas, ya que el rey hacía una pregunta, si ésta contestaba bien, la persona era absuelta, en tanto que si contestaba mal se la mataba en ese mismo instante, en cambio si la persona decidía no contestar le correspondía cumplir el castigo.
La pregunta era la siguiente :
Si pintara las cuatro figuras, ¿cuál sería la más alta?
Como tu lector, sabes matemáticas, me podrás responder correctamente la pregunta.
Fuente: http://simplementenumeros.blogspot.com
jueves, 30 de abril de 2009
Festival de Matemática 2009
Los días 7, 8, 9 y 10 de mayo próximos se realizará en el Centro Cultural Recoleta el Festival de Matemática 2009, organizado por el Gobierno de la Ciudad con la participación del Departamento de Matemática de la FCEyN, el Área Matemática del CBC y la Olimpíada Matemática Argentina.
Durante los días 8, 9 y 10 (viernes, sábado y domingo) los visitantes podrán recorrer la exhibición de murales y plasmas de matemática, y jugar juegos matemáticos, además de asistir a conferencias y espectáculos.
El sábado 9 de mayo a las 19 hs. en la sala Cronopios del C.C.Recoleta se presentará el libro "Gödel para Todos".
Durante los días 8, 9 y 10 (viernes, sábado y domingo) los visitantes podrán recorrer la exhibición de murales y plasmas de matemática, y jugar juegos matemáticos, además de asistir a conferencias y espectáculos.
El sábado 9 de mayo a las 19 hs. en la sala Cronopios del C.C.Recoleta se presentará el libro "Gödel para Todos".
miércoles, 29 de abril de 2009
Números Harshad
Un número harshad en base decimal es aquel que es divisible por la suma de sus dígitos.
Estos números, también conocidos como números de Niven, fueron propuestos por Kaprekar, un matemático de la India. Harshad significa gran felicidad. Es obvio que todos los números de una cifra son números harshad.
Los primeros números Harshad de más de un dígito son :
10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.
En 1994 Helen Grundman demostró que en base10, no hay más de 20 números Harshad consecutivos.
¿Cuáles son los primeros cuatro números harshad consecutivos en base 10, de más de una cifra?
¿Cuáles son los primeros 17 números consecutivos de los cuales ninguno es un número Harshad?
Estos números, también conocidos como números de Niven, fueron propuestos por Kaprekar, un matemático de la India. Harshad significa gran felicidad. Es obvio que todos los números de una cifra son números harshad.
Los primeros números Harshad de más de un dígito son :
10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.
En 1994 Helen Grundman demostró que en base10, no hay más de 20 números Harshad consecutivos.
¿Cuáles son los primeros cuatro números harshad consecutivos en base 10, de más de una cifra?
¿Cuáles son los primeros 17 números consecutivos de los cuales ninguno es un número Harshad?
domingo, 26 de abril de 2009
viernes, 17 de abril de 2009
domingo, 12 de abril de 2009
martes, 7 de abril de 2009
sábado, 4 de abril de 2009
lunes, 30 de marzo de 2009
Fácil... (llegó por mail)
Esto es un “Desafío Matemático”, y dicen que si eres ingeniero en tres minutos debes resolverlo, si eres arquitecto, en tres horas; si ere médico en seis horas; si eres contador, en tres meses; y si eres licenciado en leyes, nunca.
Si eres bueno en matemáticas o en lógica, entonces resuelve el problema.
¿Cuál es el sexto número?
1, 2, 6, 42, 1806, ___???
Si eres bueno en matemáticas o en lógica, entonces resuelve el problema.
¿Cuál es el sexto número?
1, 2, 6, 42, 1806, ___???
domingo, 29 de marzo de 2009
Tiene solución
Un oso camina 10 kilómetros hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del cual partió. ¿De qué color es el oso?
miércoles, 25 de marzo de 2009
¿Por qué esto es correcto?
Dos madres y dos hijas
fueron a misa con tres
mantillas, y cada una
llevaba puesta
la suya.
fueron a misa con tres
mantillas, y cada una
llevaba puesta
la suya.
lunes, 23 de marzo de 2009
Atenti (llegó por mail)
Hola Matemáticos, Ingenieros, Contables, Economistas y Personas inteligentes en general!!!Traten de resolver esto y luego vean la respuesta más abajo.
Dicen que fue una de las preguntas universitarias que ha provocadomáspolémica.
La pregunta es:
¿Cuál es el próximo número en la secuencia siguiente ?:2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,...
LA RESPUESTA ESTÁ MAS ABAJO, pero antes intenta resolverla.
piensa......
piensa más.......
continúa.....
pensando.......
piennnnnnnnnnnnnnnnnnnnsa!!!!!!
te rindes ?????????
última oportunidad................
RESPUESTA:
El siguiente número de la secuencia es 200. Todos los números comienzan con la letra D.
Dicen que fue una de las preguntas universitarias que ha provocadomáspolémica.
La pregunta es:
¿Cuál es el próximo número en la secuencia siguiente ?:2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,...
LA RESPUESTA ESTÁ MAS ABAJO, pero antes intenta resolverla.
piensa......
piensa más.......
continúa.....
pensando.......
piennnnnnnnnnnnnnnnnnnnsa!!!!!!
te rindes ?????????
última oportunidad................
RESPUESTA:
El siguiente número de la secuencia es 200. Todos los números comienzan con la letra D.
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